Flag of the United Kingdom
Andreas Rejbrands webbplats

Aktuellt

Den enklaste partiella differentialekvationen

(Den här artikeln innehåller matematik. Du behöver en modern webbläsare med stöd för MathML, t.ex. Mozilla Firefox, för att visa den korrekt.)

Jag fick i går frågan hur man löser den partiella differentialekvationen z x = 0 där z C 2 ( 2 ) .

Med tanke på ekvationens låga komplexitet (faktiskt är det den enklaste tänkbara partiella differentialekvationen i två variabler) handlade frågan uppenbarligen mest om grundläggande förståelse. Och i sådana fall finns kanske inget bättre svar än ett som ger ett intuitivt och konkret exempel. Mitt svar blev ungefär så här:

En alternativ förklaring, som är mer stringent, men samtidigt lite mer teknisk, är som följer:

Att derivera z(x,y) partiellt med avseende på x innefattar att man betraktar y som en konstant, vilket ger upphov till en envariabelfunktion xz(x,y). I praktiken får vi en familj av sådana funktioner – en för varje värde på y. Ett fixt y svarar mot en horisontell linje i planet, en horisontell ”cykelbana”, om du vill. För en sådan ”cykelbana” är xz(x,y) den funktion som ger ifrån sig temperaturen vid koordinaten x längs just den cykelbanan. Vi kan kalla funktionen för ”temperaturprofilen för cykelbanan med index y”. Den partiella derivatan z x är lika med den vanliga envariabelderivatan av den nyligen nämnda temperaturprofilen.

Att z x = 0 betyder som nämnt att zx(x,y)=0 för varje (x,y); speciellt medför detta att det för fixt y gäller att zx(x,y)=0 för varje x, d.v.s. temperaturprofilen för cykelbanan med index y är konstant. Således, eftersom y var godtycklig, är temperaturen konstant på varje horisontell cykelbana. Däremot är det klart att temperaturen kan vara olika på olika cykelbanor. Om temperaturen på cykelbanan med index y är g(y) så har vi därför återigen z(x,y)=g(y).

Partiella differentialekvationer behandlas inte alls i mitt kompendium om flervariabelanalysens grunder, men det gör teorin för skalärfält och partiella derivator, så ”det mesta” av resonemanget ovan finns där.


Visa alla tidigare notiser.

Visa enbart de senaste notiserna.