(Den här artikeln innehåller matematik. Du behöver en modern webbläsare med stöd för MathML, t.ex. Mozilla Firefox, för att visa den korrekt.)

Jag fick i går frågan hur man löser den partiella differentialekvationen $\frac{\partial z}{\partial x}=0$ där $z\in C^2\left({\mathrm{ℝ}}^2\right)$.

Med tanke på ekvationens låga komplexitet (faktiskt är det den enklaste tänkbara partiella differentialekvationen i två variabler) handlade frågan uppenbarligen mest om grundläggande förståelse. Och i sådana fall finns kanske inget bättre svar än ett som ger ett intuitivt och konkret exempel. Mitt svar blev ungefär så här:

• $z(x,y)$ är temperaturen i punkten $(x,y)$ i planet. $z$ är med andra ord en funktion som tar in en punkt i planet, och ger ifrån sig ett tal, d.v.s. ett skalärfält av typen ${\mathrm{ℝ}}^2\to \mathrm{ℝ}$.

• $\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)$ är så mycket temperaturen ökar per meter, om du står i punkten $(x,y)$ och går rakt åt höger.

• $\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)$ är så mycket temperaturen ökar per meter, om du står i punkten $(x,y)$ och går rakt uppåt.

• Notera att $z$ är en funktion i planet (d.v.s. du får ett värde i varje punkt i planet), och samma sak gäller för $\frac{\partial z}{\partial x}$ och $\frac{\partial z}{\partial y}$. Båda dessa senare beror ju också på i vilken punkt du står.

• $\frac{\partial z}{\partial x}=0$ betyder att $\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)=0$ för varje $(x,y)$ i planet, d.v.s. i vilken punkt du än står, så är temperaturen oförändrad om du går rakt högerut. Alltså måste temperaturen vara konstant på varje horisontell linje i planet. Men temperaturen kan förstås vara olika på olika sådana linjer.

• Alltså kan temperaturen bero på $y$-koordinaten, på något sätt. För varje höjd $y$ finns det därför en bestämt temperatur, som gäller på hela den horisontella linjen. Om vi kallar temperaturen på linjen med höjd $y$ för $g\left(y\right)$ så har vi sålunda

  $z(x,y)=g\left(y\right)$.

• $g$ är här en godtycklig ($C$²- (varför?)) funktion av typen $\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$ som tar in ett reellt tal (höjden, $y$) och ger ifrån sig ett reellt tal (temperaturen på den linjen).

En alternativ förklaring, som är mer stringent, men samtidigt lite mer teknisk, är som följer:

Att derivera $z(x,y)$ partiellt med avseende på $x$ innefattar att man betraktar $y$ som en konstant, vilket ger upphov till en envariabelfunktion $x\mapsto z(x,y)$. I praktiken får vi en familj av sådana funktioner – en för varje värde på $y$. Ett fixt $y$ svarar mot en horisontell linje i planet, en horisontell ”cykelbana”, om du vill. För en sådan ”cykelbana” är $x\mapsto z(x,y)$ den funktion som ger ifrån sig temperaturen vid koordinaten $x$ längs just den cykelbanan. Vi kan kalla funktionen för ”temperaturprofilen för cykelbanan med index $y$”. Den partiella derivatan $\frac{\partial z}{\partial x}$ är lika med den vanliga envariabelderivatan av den nyligen nämnda temperaturprofilen.

Att $\frac{\partial z}{\partial x}=0$ betyder som nämnt att $\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)=0$ för varje $(x,y)$; speciellt medför detta att det för fixt $y$ gäller att $\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)=0$ för varje $x$, d.v.s. temperaturprofilen för cykelbanan med index $y$ är konstant. Således, eftersom $y$ var godtycklig, är temperaturen konstant på varje horisontell cykelbana. Däremot är det klart att temperaturen kan vara olika på olika cykelbanor. Om temperaturen på cykelbanan med index $y$ är $g\left(y\right)$ så har vi därför återigen $z(x,y)=g\left(y\right)$.

Partiella differentialekvationer behandlas inte alls i mitt kompendium om flervariabelanalysens grunder, men det gör teorin för skalärfält och partiella derivator, så ”det mesta” av resonemanget ovan finns där.