Artiklar

I de tre senaste artiklarna (348, 349 och 350) har vi bekantat oss med spegelsimulatorn som tydligt antyder att paraboliska speglar, men inte t.ex. sfäriska speglar, samlar inkommande strålar som är parallella med den optiska axeln i en punkt (fokus). Men givetvis bevisar dessa grafiska observationer inget! Ett riktigt bevis har jag dock tidigare publicerat på TRECS sida om parabeln.

Låt oss avsluta den här serien med en bild med en annan typ av spegelyta, grafen till cosinus hyperbolicus av avståndet från origo. Här är det tydligt att väldefinierad brännpunkt saknas.

(Den här artikeln innehåller matematik. Du behöver en modern webbläsare med stöd för MathML, t.ex. Mozilla Firefox, för att visa den korrekt. Om du inte har en sådan webbläsare kan du i stället läsa artikeln i PDF-format.)

Hur fungerar spegelsimulatorn, d.v.s. hur beräknas riktningen hos de reflekterade strålarna?

Situationen är följande: vi har en given yta $S\subset {\mathbb{R}}^3$ och en given punkt $P\in S$. Mot denna punkt infaller en ljusstråle, den inkommande strålen, med given normerad riktningsvektor $\widehat{\mathbf{i}}$. Denna stråle reflekteras, och problemet består i att beräkna (den normerade) riktningsvektorn $\widehat{\mathbf{r}}$ för den reflekterade stålen, som alltså kan parametriseras $P+t\widehat{\mathbf{r}}$ med $t\ge 0$.

Den fysikaliska lag som är relevant här är reflektionslagen, som säger att

1. den inkommande strålen, ytans normal i punkten och den reflekterade strålen ligger i samma plan
2. vinkeln mellan den inkommande strålen och normalen (infallsvinkeln) är lika stor som vinkeln mellan normalen och den reflekterade strålen (reflektionsvinkeln).

I bilden nedan är den inkommande strålen vit, liksom dess normerade riktningsvektor $\widehat{\mathbf{i}}$ som pekar mot $P$; normallinjen är röd, liksom den utåtpekande enhetsnormalen $\widehat{\mathbf{n}}$. Den sökta reflekterade strålen är grön, liksom dess sökta normerade riktningsvektor $\widehat{\mathbf{r}}$.

Hur bestämmer vi $\widehat{\mathbf{r}}$ givet $\widehat{\mathbf{i}}$ och $\widehat{\mathbf{n}}$?

Först bestämmer vi (ortogonal)projektionen $\mathbf{p}$ av $\widehat{\mathbf{i}}$ på $\widehat{\mathbf{n}}$; den är

$\mathbf{p}=⟨\widehat{\mathbf{i}}, \widehat{\mathbf{n}}⟩\widehat{\mathbf{n}}$.

Vi söker nu den vektor $\mathbf{x}$ som går från början av $\widehat{\mathbf{i}}$ till normallinjen och som är vinkelrät mot normallinjen (rita!). Tydligen är $\mathbf{x}+\mathbf{p}=\widehat{\mathbf{i}}$ varför

$\mathbf{x}=\widehat{\mathbf{i}}-\mathbf{p}=\widehat{\mathbf{i}}-⟨\widehat{\mathbf{i}}, \widehat{\mathbf{n}}⟩\widehat{\mathbf{n}}$.

Vi hävdar nu att

$\widehat{\mathbf{r}}=-\widehat{\mathbf{i}}+2\mathbf{x}=-\widehat{\mathbf{i}}+2\widehat{\mathbf{i}}-2⟨\widehat{\mathbf{i}}, \widehat{\mathbf{n}}⟩\widehat{\mathbf{n}}=\widehat{\mathbf{i}}-2⟨\widehat{\mathbf{i}}, \widehat{\mathbf{n}}⟩\widehat{\mathbf{n}}$,

enligt bilden nedan, där $\mathbf{p}$ och $\mathbf{x}$ är gula.

För det första ser vi nämligen att $\widehat{\mathbf{r}}=\widehat{\mathbf{i}}-2⟨\widehat{\mathbf{i}}, \widehat{\mathbf{n}}⟩\widehat{\mathbf{n}}$ är en linjärkombination av $\widehat{\mathbf{i}}$ och $\widehat{\mathbf{n}}$, så att $\widehat{\mathbf{r}}$ ligger i det plan som spänns upp av $\widehat{\mathbf{i}}$ och $\widehat{\mathbf{n}}$. Att sedan infallsvinkeln är lika med reflektionsvinkeln följer direkt av geometrin, med tanke på den likbenta triangel som uppenbarar sig och som består av två kongruenta rätvinkliga trianglar. (Att de två rätvinkliga trianglarna är kongruenta följer av att de gula sidorna intill de räta vinklarna parvis är lika stora i båda trianglarna och det faktum att de är kongruenta medför i sin tur direkt att deras spetiga vinklar, d.v.s. infallsvinkeln och reflektionsvinkeln, är lika stora. Samtidigt följer att $\left|\widehat{\mathbf{i}}\right|=\left|\widehat{\mathbf{r}}\right|$. Det senare faktumet, d.v.s. att den stora triangeln är likbent, följer också av Pythagoras sats applicerad i de två rätvinkliga trianglarna.) Sålunda är $\widehat{\mathbf{r}}$ en riktningsvektor för den reflekterade strålen, enligt reflektionslagen.

Men $\widehat{\mathbf{r}}$ är inte bara en riktningsvektor, utan den utlovade normerade riktningsvektorn, eftersom $\left|\widehat{\mathbf{r}}\right|=\left|\widehat{\mathbf{i}}\right|=1$.

Som en övning i vektoralgebra kan vi utföra några kontroller:

$\mathbf{x}\cdot \widehat{\mathbf{n}}=\left(\widehat{\mathbf{i}}-⟨\widehat{\mathbf{i}}, \widehat{\mathbf{n}}⟩\widehat{\mathbf{n}}\right)\cdot \widehat{\mathbf{n}}=⟨\widehat{\mathbf{i}}, \widehat{\mathbf{n}}⟩-⟨\widehat{\mathbf{i}}, \widehat{\mathbf{n}}⟩{\left|\widehat{\mathbf{n}}\right|}^2=0$,

${\left|\widehat{\mathbf{r}}\right|}^2=\mathbf{r}\cdot \mathbf{r}={\left(\widehat{\mathbf{i}}-2⟨\widehat{\mathbf{i}}, \widehat{\mathbf{n}}⟩\widehat{\mathbf{n}}\right)}^2={\left|\widehat{\mathbf{i}}\right|}^2-4{⟨\widehat{\mathbf{i}}, \widehat{\mathbf{n}}⟩}^2+4{⟨\widehat{\mathbf{i}}, \widehat{\mathbf{n}}⟩}^2{\left|\mathbf{n}\right|}^2=1$ och

$⟨\widehat{\mathbf{r}}, \widehat{\mathbf{n}}⟩=\left(\widehat{\mathbf{i}}-2⟨\widehat{\mathbf{i}}, \widehat{\mathbf{n}}⟩\widehat{\mathbf{n}}\right)\cdot \widehat{\mathbf{n}}=⟨\widehat{\mathbf{i}}, \widehat{\mathbf{n}}⟩-2⟨\widehat{\mathbf{i}}, \widehat{\mathbf{n}}⟩{\left|\widehat{\mathbf{n}}\right|}^2=-⟨\widehat{\mathbf{i}}, \widehat{\mathbf{n}}⟩=⟨-\widehat{\mathbf{i}}, \widehat{\mathbf{n}}⟩$

vilket visar att $\mathbf{x}\perp \widehat{\mathbf{n}}$, $\left|\widehat{\mathbf{r}}\right|=1$ och $\angle \left(\widehat{\mathbf{r}}, \widehat{\mathbf{n}}\right)=\angle \left(-\widehat{\mathbf{i}}, \widehat{\mathbf{n}}\right)$ som förväntat.

Häromdagen tittade vi på spegelsimulatorn och såg att en parabolisk spegel samlar inkommande strålar som är parallella med den optiska axeln i en fix punkt (fokus), vilket inte en sfärisk spegel gör. Att enbart sluta sig till detta genom okulärbesiktning av simulatorbilder är emellertid något vanskligt, bland annat eftersom en sfärisk spegel med liten krökning ”nästan” lyckas samla strålarna i en punkt. För att stärka det visuella evidensvärdet bör man sålunda betrakta såväl den paraboliska spegeln som den sfäriska spegeln vid olika stora krökningar.

Låt oss utföra ett sådant experiment. Först visar vi tre paraboliska speglar med ökande krökning:

Notera de väldefinierade brännpunkterna. Nedan visas motsvarande bilder för en sfärisk spegel (klicka för förstoring):

Lägg märke till att det nästan ser ut som om strålarna samlas i den första bilden (liten krökning), medan den andra bilden antyder ett ”misslyckande” för strålsamlingen och den sista bilden med all önskvärd tydlighet förmedlar detta ”misslyckande”. Men även i den första bilden (sfär, liten krökning) så misslyckas strålsamlingen, vilket kan ses vid en rejäl förstoring. Nedan visas en sådan förstoring av dels den paraboliska spegeln, dels den sfäriska spegeln, vid låg krökning (de vänstra bilderna i varje följd):

För nöjes skull kan man också animera de två spegeltyperna (parabolisk och sfärisk) när krökningen ändras kontinuerligt:

Parabolisk spegel

Ladda ned video: MP4 (h.264), OGG (Theora), animerad GIF

Sfärisk spegel

Ladda ned video: MP4 (h.264), OGG (Theora), animerad GIF

Bland de första bilderna jag skapade med min mjukvara AlgoSim (d.v.s. år 2009 eller 2010) var bilder från exempelprogrammet mirrorSim3 som simulerar reflektion i olika typer av spegelytor. De två inbyggda standardvalen är parabolisk och sfärisk yta (d.v.s. ytan är en paraboloid respektive en sfär) och en intressant observation man kan göra med programmet är att den paraboliska spegeln samlar inkommande strålar som är parallella med den optiska axeln i en fix punkt (fokus), medan en sfärisk spegel inte gör det. Tyvärr hade den första versionen av exempelprogrammet en bugg som gjorde att vinkeln på de reflekterade strålarna inte blev korrekt, men den nya versionen av programmet är felfri och det är den versionen som skapat de två bilderna nedan.

Parabolisk spegel

Sfärisk spegel

Det faktum att den paraboliska spegeln, men inte den sfäriska, samlar de reflekterade strålarna i en punkt syns bäst om man tittar på speglarna från sidan:

Parabolisk spegel (från sidan)

Sfärisk spegel (från sidan)