Gästbok

Först bör du ta dig en kortare funderare på hur du återger formler i oformaterad text. 1/2(sin(2x)) kan tolkas på två sätt, dels som (1/2) sin 2x, dels som 1/(2 sin 2x); faktiskt bidrar parenteserna kring sinusfunktionen inte till någon förbättring. Jag utgår från att du avser (1/2) sin 2x.

Både du och Wolfram|Alpha har rätt. Om vi deriverar (-1/4) cos 2x får vi (-1/4) ⋅ (-sin 2x) ⋅ 2 = (1/2) sin 2x = (1/2) ⋅ 2 sin x cos x = sin x cos x, som önskat. [Här använde vi sinus för dubbla vinkeln -- detta är en av de fem trigonometriska identiteterna man måste kunna i huvudet.] Å andra sidan, om vi deriverar (-1/2) cos^2 x får vi (-1/2) ⋅ 2 cos x ⋅ (-sin x) = sin x cos x, vilket är precis samma sak. Med andra ord är (-1/4) cos 2x = (-1/2) cos^2 x + C för någon konstant C för varje x ∈ ℝ. Detta kunde du själv ha listat ut genom att rita båda graferna på din dator, och sett att det enda som skiljer dem åt är en höjdförändring. [Jag menar, om du mot all förmodan glömt bort dina trigonometriska identiteter!]

Andreas Rejbrand

PS. Hur gör man om man vill integrera cos^2 x? Jo, man använder cosinus för dubbla vinkeln (och trigonometriska ettan) för att härleda cos^2 x = (1/2) cos 2x + 1/2. Det följer av detta att (-1/2) cos^2 x = (-1/4) cos 2x - 1/4. Här ser du att det bara är en konstant som skiljer uttrycken åt!