Gästbok

Du har skrivit av problemet fel. Det skall stå x^2 + y^2 ≤ 1 samt y ≥ 0. Det rör sig alltså om optimering på ett två-dimensionellt område, och dessutom ett kompakt område. [x^2 + y^2 ≤ 1 är ju den fyllda enhetsdisken (ett område i planet), medan x^2 + y^2 = 1 är enhetscirkeln (en kurva i planet); om dessutom y > 0 så är kurvans ändpunkter inte med i området så att max och min inte nödvändigtvis måste existera, t.ex. om skalärfältet ökar ju närmare x-axeln (y = 0) du kommer]. Antag så att vi skall hitta max och min av skalärfältet F(x, y) [tänk temperaturen] på x^2 + y^2 ≤ 1, y ≥ 0. Först måste vi hitta alla lokala bergstoppar och dalar av F(x, y) inuti halvdisken. Sätt då gradienten ∇F(x, y) = 0. Detta är två ekvationer i två obekanta (x, y) vilka ger alla lokala max och min i hela planet ℝ^2. Eftersom vi "hugger av" området måste vi också undersöka funktionen på randen, där vi hugger av, eftersom funktionen kan vara på väg någonstans. Säg till exempel att F(x, y) ökar ju längre ifrån origo vi går; då bör vi få ett maximum på randen till området, men det syns förstås inte på ∇F(x, y) = 0 eftersom detta maximum inte är en lokal bergstopp för F(x, y) [utan F(x, y) forstätter att växa när vi passerar kanten], men det är så stort F(x, y) kan bli i vårt område.

Randen består av två delar: dels halvcirkeln x^2 + y^2 = 1, y ≥ 0 och dels intervallet x ∈ [−1, 1] på y = 0. Vi börjar med halvcirkeln. Det finns två sätt att finna max och min av F(x,y) på denna halvcirkel. Det ena är att vi parametriserar halvcirkeln som x = cos φ, y = sin φ, där φ ∈ [0, π]. Detta ger skalärfältet F(x, y) = F(x(φ), y(φ)) som en funktion av en enda variabel, φ. Då kan vi använda gymnasiemetoder för att finna max och min av F(φ). Punkter där derivatan är noll är lokala stationära punkter (terrasspunkter eller max- och minpunkter) av F(φ) på enhetscirkeln, och så måste vi ju undersöka randpunkterna φ = 0 och φ = π, där vi hugger av intervallet, separat. [Eventuellt (beroende på hur F ser ut) har man nytta av hjälpvinkelmetoden från grundkursen när man undersöker F(φ).]

Alternativ två är att notera att problemet gäller optimering av F(x, y) under bivillkoret G(x, y) = x^2 + y^2 = 1 (samt y > 0). Alltså måste gradienterna ∇F(x, y) och ∇G(x, y) vara parallella i en intressant punkt. Vi kan då sätta ∇G(x, y) = k ∇F(x, y) för något tal k ∈ ℝ vilket är två ekvationer i tre obekanta (x, y, k); tillsammans med x^2 = y^2 = 1 har vi alltså tre ekvationer i tre obekanta. Lösningar som ligger i övre halvplanet y ≥ 0 är kandidatpunkter. Även i den här metoden måste vi förstås undersöka randpunkterna (±1, 0) separat. Ett alternativ till att introducera den i sig ointressanta storheten k är att notera att två vektorer i planet är parallella omm arean av den parallellogram de genererar är noll, så vi kan ställa upp determinanten som ger denna area och sätta den till noll.

Slutligen måste vi undersöka randbiten x ∈ [-1, 1], y = 0. Här räcker det med att vi sätter y = 0 i F(x, y), d.v.s. vi betraktar F(x, 0) som ju är en funktion av en variabel på x ∈ [-1, 1]. Vi bestämmer max och min av F(x, y) på detta intervall. I princip måste vi ju då sätta derivatan till noll för att finna stationära punkter (till funktionen F(x) av en variabel) inom intervallet, och sedan undersöka randpunkterna (±1, 0) separat, men vi har ju redan undersökt dessa två randpunkter, eftersom de också är randpunkterna till halvcirkeln x^2 + y^2 = 1, y ≥ 0, så vi behöver ju inte undersöka dem gång till.

Nu skapar vi en tabell över alla intressanta punkter (x, y) samt funktionsvärdet F(x, y) i dessa punkter, och bestämmer på så sätt max och min av F(x, y) på området.

Andreas Rejbrand