Gästbok

Jag är inte helt säker på att jag är med på vad du menar. Partialbråksuppdelning brukar normalt utföras på ett väldigt mekaniskt sätt, d.v.s. man följer det "recept" som finns för det. Oftast, i varje fall i den här kursen, är dessutom partialbråksuppdelningen ett av stegen i ett större "recept", nämligen receptet för hur man integrerar rationella funktioner. Tänk vad bra det är att vi har ett recept för detta: vi kan ju med hjälp av receptet, nästan utan att ens behöva tänka, hitta en primitiv funktion till vilken rationell funktion p(x)/q(x) som helst!

Första steget i receptet är att, om täljarens gradtal är lika med eller högre än nämnarens gradtal, utföra polynomdivision, så att p(x)/q(x) = k(x) + r(x)/q(x), där k(x) är ett polynom, och resttermen r(x)/q(x) är sådan att täljaren har lägre gradtal än nämnaren. Detta steg, polynomdivision, är aldrig svårt (om man kan det). Polynomet (kvoten) k(x) integreras enkelt, så vi har reducerat problemet till att beräkna integralen av r(x)/q(x). Här kommer steg två i receptet: faktorisera nämnaren q(x) så långt som möjligt i reella faktorer. Dessa faktorer är blir alltid av grad ett eller två (t.ex. om du skulle få en faktor av grad tre, så måste den ha minst ett reellt nollställe, eftersom varje polynom av grad tre har minst ett reellt nollställe, och då hade du ju inte faktoriserat klart nämnaren). Steg tre i receptet är att partialbråksuppdela r(x)/q(x), där nu nämnaren q består av reella faktorer av grad ett eller två. För varje sådan faktor, säger receptet, att vi ansätter en viss term i partialbråksuppdelningen, enligt tabellen i Forsling. Forsling bevisar inte att tabellen "fungerar", d.v.s. han bevisar inte att man alltid lyckas med partialbråksuppdelningen genom att använda termerna givna i tabellen, men det är bara ett teoretiskt problem. I praktiken kommer du märka att tabellen alltid fungerar.

Så, nu har vi skrivit vår ursprungliga rationella funktion p(x)/q(x) som en summa av termer, där varje term (förutom det "svåra" fallet) är väldigt enkel att integrera (återigen, när man väl lärt sig det). Det blir i allmänhet summor av arcustangenter och logaritmer, och problemet är löst. Konsultera Forsling (d.v.s. boken!) för exempel!

Andreas Rejbrand