Gästbok

f(x) = cos 2x − a cos x = cos^2 x − sin^2 x − a cos x = cos^2 x − (1 − cos^2 x) − a cos x = 2 cos^2 x − 1 − a cos x = 2 t^2 − at − 1 där t = cos x. Eftersom cos x är strängt avtangande på ]0, π[ så är f(x) injektiv om och endast om f(t) = 2t^2 − at − 1 är injektiv. Vi noterar också att x ∈ ]0, π[ ⇒ t ∈ ]−1, 1[. Nu är f(t) = 2t^2 − at − 1 = 2(t^2 − a/2 t − 1/2) = 2[(t − a/4)^2 − (a^2 + 8)/16] vilket tydligen är en injektion på ]−1, 1[ om och endast om t − a/4 har samma tecken (eller = 0) för samtliga dessa t (varför?), d.v.s. omm t − a/4 ≥ 0 ∀ t ∈ ]−1, 1[ eller t − a/4 ≤ 0 ∀ t ∈ ]−1, 1[. Det första fallet ger a ≤ −4 (det värsta som kan hända är att t = −1) medan det senare ger a ≥ 4 (det värsta som kan hända är att t = +1). Således är f injektiv omm a ∈ ]−∞, −4] ∪ [4, ∞[.

Andreas Rejbrand